今回の表現「アンテナを張っておく」は、
本当のアンテナではなく、注意深く見守るという意味の方です。
英語では、以下の表現があります。
be on the lookout
英語の例文です。
I'll be on the lookout.
（アンテナを張っておきます）
「for」をつけることもあります。
be on the lookout for 〜
（〜にアンテナを張っておく）
ほぼ同様の英語表現に以下もあります。
これらも「for」と組み合わせることができます。
keep a lookout
on the watch
その他、以下も使えるかもしれませんね。
keep an eye on 〜
（〜から注意の目をそらさない）
」
