病気で入院しているとき、医者の観察下に置かれますが、
この状態を英語では以下のように表現することができます。
He is under observation by the doctor.
（彼は医者の監視下に置かれています。）
「under observation」で、
「〜の監視下・観察下にある」という意味になります。
例文などを見ていると病気のときによく使われるみたいです。
上記は監視下におかれる人が主語ですが、
逆に監視する人を主語にする場合、以下の英語表現を使います。
The doctor keep him under observation.
（医者は彼を観察下においています。）
このように「keep 〜 under observation」という表現を使います。
似たような英語表現に、
under control
というのもあります。
これは「制御されて」「抑制されて」などの意味があります。
東京オリンピックのプレゼンのときに、
安部首相が原発の不安に関する質問をされたとき、
以下のように発言していました。
The situation is under control.
（状況は制御されています。）
下記のような表現もあります。
Everything's under control.
（すべてうまくいっています。）
「コントロールできる状態＝うまくいっている」ということですね。
ちなみに「under control」の反対は
out of control
です。
また「supervision」を使った英語表現もあります。
under the supervision of 〜
under 〜 supervision
（〜の監視下で）
以下のように使います。
under the supervision of the manager
（マネージャの監視下で）
under adult supervision
（大人の監視下で）
」
