まず「爪切り」ですが、英語では、
nail clipper
と言います。
「clip」は「切る」「刈り込む」という意味があります。
「nail cutter」や「nail trimmer」という言い方もあるそうですが、
「nail clipper」が一番よく使われるのではないでしょうか。
ちなみに爪切りには、我々が一般的に使う上下のレバーで挟んでカットするタイプと
ハサミのタイプがあります。
前者は「compound lever type」、後者は「plier type」と呼ばれます。
ついでに「バリカン」は、
hair clipper
と言います。
「爪やすり」は、
nail file
と言います。
次に「爪を切る」ですが、
以下のような英語表現を使います。
I'm cutting my nails.
（私は爪を切っています。）
I'm trimming my nails.
（同上）
I'm paring my nails.
（同上）
I'm clipping my nails.
（同上）
このように4つの動詞が使われます。
cut
trim
pare
clip
違いはよくわかりませんが、いろいろ調べていた中では、
「cut」が多いような気がしました。
逆に「clip」はあまり見かけませんでした。
もし「手の爪」「足の爪」と言いたい場合は、
以下の英語を使えばよいでしょう。
fingernails
（手の爪）
toenails
（足の爪）
」
