「〜に出くわす」「〜に偶然出会う」は以下の英語表現があります。
run into
encounter
まず「run into」ですが、人でも動物でも使えます。
英語の例文です。
I ran into my friend in the park.
（公園で友達に出会った。）
I ran into a bear in the forest.
（森で熊に出くわした。）
次に「encounter」ですが、これも「遭遇する」という意味の単語です。
「run into」と同じ感じで使えますが、
危険を伴う場面などネガティブな状況で使われることも多いです。
英語の例文です。
I encountered a bear in the forest.
（森で熊に出くわした。）
この場合、かなりの近距離で熊に出くわした感じがします。
遠めから熊を見つけた場合は、以下のようにすればよいでしょう。
I saw a bear in the forest.
（森で熊を見た。）
「run into」「encounter」以外に、
see 〜 by coincidence
などもあります。
I saw my friend by coincidence.
（偶然友達に会いました。）
なお偶然でない場合は「meet」を使います。
英語の例文です。
I'll meet you at the station.
（駅で会いましょう。）
「meet」は動物に使うと違和感があるそうなので、
その場合は「see」を使います。
I saw two dogs at the street.
（道で2匹の犬に会った。）
「meet」も偶然出会う場合に使えなくもないですが、
その場合、
happen to meet 〜
meet 〜 by chance
のように使われることが多いそうです。
」
