「～以外」「を除いて」を英語で表現する場合、
以下の２つの単語を使います。
except / besides
但し、この２つの単語には違いがあります。
ちょっと説明が難しいのですが、簡単に書くと、
except 対象を含めない
besides 対象を含める
になります。
具体的な例ですと、
①Have you been everywhere in Japan except Tokyo?
②Have you been everywhere in Japan besides Tokyo?
両者とも「東京以外に、日本の全ての場所に行ったことがあるのですか？」という文ですが、
①は「東京は行ってないけど、それ以外の場所は全て行ってるか？」
②は「東京は行っているけど、それ以外の場所も全て行ってるか？」
という意味になります。
「besides」は「～に加えて」という意味でとらえるといいかもしれません。
但し、表題「日本以外に何カ国訪れましたか？」を英訳する場合、
以下のどちらも同じ意味になります。
How many countries have you been to except Japan?
（日本を除いて、何カ国訪れましたか？）
How many countries have you been to besides Japan?
（日本に加えて、何カ国訪れましたか？）
どちらも日本を除いた国数を訪ねています。
後者の「besides」の方が自然な表現らしいです。
おまけですが、「行ったことがある」を英語にする場合、
以下の２つの言い方が考えられますが、「been to」を使う方が、自然らしいです。
How many countries have you visited besides Japan?
How many countries have you been to besides Japan?
」
すごく参考になったので、お礼をこめてランクリしておきました！今後とも更新楽しみにしてます^^